Olá. Se você chegou até esse blog é porque provavelmente está pesquisando a cerca do que seja a matriz jacobiana ou a hessiana, se não as duas.
Bom, comecemos apresentando a primeira. A matriz jacobiana é uma matriz das derivadas parciais de um ponto específico (x*) de uma função de múlltiplas variáveis. Qual a sua importância? Esta matriz representa uma aplicação linear que é a aproximação linear efetiva de F em torno de x* (vetor do conjunto de dados x1, x2, x3,..., xn de cada uma das múltiplas variáveis independentes).
O seu nome se deve ao sujeito cabeçudo da foto abaixo, Carl Gustav Jacobi...
Carl G. Jacobi
Vamos construir a derivada jacobiana que é o que importa...
Bom, como dissemos anteriormente, trata-se de uma ferramenta para análise de funções com mais de duas variável. Basicamente, quando tratamos dessas funções maiores utilizamos os mesmo fundamentos das funções em R(2) (plano bidimensional). As funções passam naturalmente para R(n).
Tomemos então uma função F (x1*,...,xn*), segundo a definição da derivada temos
(1)Onde o lado direito dessa equação é a representação paramétrica de um hiperplano que é tangente ao gráfico n-dimensional de F em R(n+1).
Plano tangente ao gráfico de F
Observe que este é mesmo conceito para derivadas em R(2), aquela derivadazinha simples que aprendemos no ensino médio ou no primeiro ano da faculdade.
Muitas vezes utilizamos as diferenciais dF, dx1,...,dxn para representar variações nesse hiperplano. A expressão que acima foi colocada define que, ao redor (ou na vizinhança) de x*, o hiperplano tangente ao gráfico de F é uma razoável aproximação ao próprio gráfico em si. Isso se dá por que a variação real de F é 
, que é bem aproximada pela diferencial total (afinal, esse é o sentido da existência do cálculo).
, que é bem aproximada pela diferencial total (afinal, esse é o sentido da existência do cálculo).Essa diferencial total será dada por
no hiperplano tangente, com 
para cada i. Como o hiperplano tangente é o gráfico da função afim temos que a aplicação linear feita em (1) é uma boa aproximação da real variação de F...
para cada i. Como o hiperplano tangente é o gráfico da função afim temos que a aplicação linear feita em (1) é uma boa aproximação da real variação de F...
Podemos então construir uma matriz de tal aplicação linear:
Esta matriz é a derivada de F em x*, ou, como mais nos interessa, é a DERIVADA JACOBIANA DE F em x*.
Uma de suas principais importâncias reside no fato de que, se multiplicarmos essa matriz pela matriz das variações em cada variável da função (com o perdão da redundância), teremos o efeito em cada variável de tais mudanças, e dessas forma, temos também, pela soma de cada efeito, o impacto sobre a função como um todo.
A título de exemplo tomemos
em um ponto específico x* = (x*1,..., x*n) de R(n) e vamos usar uma aproximação por diferenciais para estimar o efeito de uma variação em x* de 
. Utilizamos então o conceito de aproximação da variação pela derivada para cada componente de F:
. Utilizamos então o conceito de aproximação da variação pela derivada para cada componente de F:
Que em forma matricial adquire o seguinte aspecto:
